(2000物理化学及び演習II) 問題1-3

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2000物理化学及び演習II - 問題1-3

[演習問題 1-3] 分子の回転状態分布 (HCl)

上の図は気体 HCl 分子の赤外吸収スペクトルである。この吸収は HCl 分子の振動遷移 (振動量子数 n = 0 1) に対応するが、HCl 分子の回転状態による分裂が見られる。回転速度によって、原子間距離が変化しないという近似 (剛体回転子近似) のもとでの回転運動の量子力学による解は以下のようになる。

回転エネルギー固有値　　F (J ) = BJ (J + 1)　(J : 回転量子数 = 0, 1, 2, ...)

(1)

回転多重度　　g (J ) = 2J + 1

(2)

ここで回転定数は、エネルギーあるいは波数単位で書くと、

(エネルギー単位),　

(波数単位)

(3)

となる。I は慣性モーメントであり、２原子分子では

I =

r ²　 (

: 換算質量、r : 核間距離)

(4)

となる。P(J ) と書かれた吸収線 (P 枝) は振動基底状態 (n = 0) の回転量子数がJから、振動励起状態 (n = 1) の回転量子数が J - 1 への吸収であり、R(J ) と書かれた吸収線 (R 枝) は、振動基底状態の回転量子数がJから、振動励起状態の回転量子数が J + 1 への吸収である。
赤外スペクトルの各回転線の強度は、振動基底状態の回転状態の分布 (濃度) に比例する。絶対温度 T における回転状態の分布は、ボルツマン分布則から、

(5)

に比例する。ここで、k_B はボルツマン定数である。

[問題 1-3]
　回転線強度が (5) 式に比例することから、この式を変形して、いくつかの回転線強度に関するプロットの傾きから温度を決定する式を書け。 (これをボルツマンプロットと呼ぶ)
　P(J ) あるいは R(J ) の一連の回転線の強度から、この測定が行われた温度を推定せよ。回転線の強度は表1の値を用いてよい。回転定数には B = 10.4 cm^-1 を用いよ。

　＊波数単位 cm^-1 はエネルギーと線形な単位であるために、分光学では波長よりも、好んで使用される。またしばしばエネルギーの単位としても使われる。振動数の光子１個のエネルギーは h、振動数と波数との関係は = c₀ (c₀ は真空中の光速) である。

＜表 1. 観測された回転線の位置と吸収強度＞
Line	Position / cm^-1 (H³⁵Cl)	Intensity (H³⁵Cl)	Position / cm^-1 (H³⁷Cl)
R7	3030.09	0.0267	3027.79
R6	3014.42	0.0485	3012.13
R5	2998.05	0.0779	2995.79
R4	2981.00	0.1101	2978.76
R3	2963.29	0.1349	2961.07
R2	2944.91	0.1399	2942.72
R1	2925.90	0.1166	2923.73
R0	2906.25	0.0658	2904.11
P1	2865.10	0.0617	2863.02
P2	2843.63	0.1026	2841.58
P3	2821.57	0.1156	2819.56
P4	2798.94	0.1046	2796.97
P5	2775.76	0.0802	2773.83
P6	2752.04	0.0533	2750.14
P7	2727.78	0.0312	2725.92
P8	2703.01	0.0162	2701.19

＊注：　各回転線の横にある強度の小さいピークは H³⁷Cl によるものである。この問題ではこのピークは無視してよい。